Zadatak:
Dječak baci loptu brzinom 20 m⁄s pod uglom 600 prema horizontali. Do koje visine se lopta najviše podigne? Koliki je maksimalni domet lopte u horizontalnom pravcu i koliko traje kretanje lopte dok ne padne na Zemlju?
Rješenje:
Jednoliko kretanje po kružnici
Kod ovakvog kretanja, stalno se mijenja pravac brzine, dok je intenzitet brzine stalan. Jednoliko kretanje po kružnici je jedno od najvažnijih krivolinijskih kretanja. Na ovakav način se približno kreću planete oko Sunca, elektroni oko jezgre atoma, dijelovi rotora mašine itd.
Brzina tijela je stalna; možemo je izračunati ako podijelimo obim kružnice (2rπ) sa vremenom za koje tijelo opiše kružnicu (T), v=2rπ⁄T.
Vrijeme T za koje tijelo opiše kružnicu zovemo periodom kruženja i možemo ga izračunati ako podijelimo ukupno vrijeme (t) sa brojem obrtaja tijela učinjenih za to vrijeme (N), T=t⁄N.
Frekvencija je recipročna vrijednost perioda T, odnosno količnik broja obrtaja i vremena za koje ih tijelo učini, f=N⁄t, odnosno f=1/T.
Na osnovu zadnjeg izraza, dobivamo v=2rπf.
Količnik ugla Δφ koji opiše radijus kružnice r po kojoj se tijelo kreće i vremena Δt za koje je taj ugao opisan nazivamo ugaona brzina ω, koja se koristi za opisivanje obrtnog kretanja, ω=Δφ⁄Δt.
Ugao Δφ se obično izražava u radijanima (rad) i iznosi Δφ=l⁄r.
Ako je ugao Δφ=3600, tada je l=2rπ, tako da ugao u radijanima iznosi 2π rad.
Ugaona brzina ω je tada 2π⁄T.
Posljednju relaciju možemo izraziti kao ω=2πf.
Jedinica za ugaonu brzinu je rad⁄s.
Veza između brzine i ugaone brzine je v=ωr.
Brzina v se još naziva i linijska ili tangencijalna brzina.
Centripetalna akceleracija i sila
Prema zakonu inercije, tijelo se kreće jednoliko pravolinijski kada na njega ne djeluje sila. Ako se tijelo kreće jednoliko po kružnici, dolazi do promjene smjera brzine, što znači da na tijelo djeluje neka sila koja mijenja smjer brzine. Na svako tijelo koje se kreće jednoliko po kružnici djeluje sila stalnog iznosa usmjerena prema središtu kružnice. Ovu silu nazivamo centripetalna sila (Fcp). Akceleracija koju ima tijelo koje se kreće jednoliko po kružnici posljedica je djelovanja centripetalne sile i ima njezin smjer i orijentaciju, a nazivamo je centripetalna akceleracija (acp, vektor).
Centripetalna sila nije neka nova sila; njezinu ulogu ima npr. sila trenja pri kretanju automobila po kružnom zavoju ili sila napetosti iznosom jednaka težini utega obješenog na najlonsku nit s jedne strane, dok je na drugoj strani kuglica koju vrtimo jednoliko po kružnici u horizontalnoj ravni.
Razmotrimo sada kružno kretanje materijalne tačke prikazano na slici ispod.
Poznato nam je da se brzina tijela povećava kada na njega djeluje sila koja ima smjer brzine, a smanjuje se kada na njega djeluje sila smjera suprotnog od smjera brzine. Ubrzanje kod kružnog kretanja smo razložili na dvije komponente, tangencijalnu - koja karakterizira promjenu intenziteta brzine i normalnu - koja karakterizira promjenu pravca brzine.
Znamo da je osnovna jednačina dinamike:
Dakle, dobivamo dvije komponente sile koja uzrokuje kružno kretanje, tangencijalnu i normalnu:
Ft=m·at i Fn=m·an.
Jasno je da je rezultantna sila:
Komponenta sile Ft uzrokuje promjenu intenziteta brzine, dok komponenta Fn uzrokuje promjenu njenog pravca i smjera.
Svako kretanje po proizvoljnoj krivolinijskoj putanji možemo predstaviti kao kretanje po lukovima kružnica različitih radijusa. Možemo kazati da se pri ravnomjernom kretanju u proizvoljnoj tački krivolinijske putanje tijelo kreće ubrzanjem usmjerenim ka centru kružnice čiji je luk dio putanje blizu te tačke. Intenzitet ubrzanja zavisi od brzine tijela u toj tački i od radijusa odgovarajuće kružnice.
Na slici desno prikazana je jedna takva putanja i naznačeni su vektori centripetalnog ubrzanja u različitim tačkama.
Kada govorimo o ravnomjernom kružnom kretanju, znači da se intenzitet brzine ne mijenja, odnosno v=const. Tangencijalno ubrzanje pri ovakvom kretanju jednako je nuli (at=0), iz čega slijedi da je i tangencijalna komponenta sile jednaka nuli (Ft=0). U ovom slučaju postoje samo normalne komponente ubrzanja i sile, tako da jednačina Fn=m·an jedina određuje centripetalno ubrzanje. Dakle, vektori a i F su usmjereni od materijalne tačke prema centru kružnice. S obzirom da ne postoji komponenta sile u smjeru brzine, ostaje samo normalna komponenta sile koja je u svakoj tački kružnice okomita na vektor brzine, što znači da vektor brzine u svakoj tački kružnice leži na tangenti.
Sa gornje desne slike vidimo da se kretanjem tijela od tačke A do tačke B njegova brzina promjeni od vA, vektor do vB, vektor, ali je iznos brzine nepromijenjen, mijenja se pravac i smjer, tako da je vA=vB=v. Promjenu brzine možemo prikazati grafički na manjoj slici gdje smo početke vektora brzina postavili u istu tačku. S obzirom da su ovi vektori okomiti na radijus kružnice povučen iz tačke A, a onda iz tačke B, na osnovu uglova s okomitim kracima slijedi da je ugao između vektora brzina takođe Δφ.
Posmatrajmo sada ova dva trougla, tj. trougao OAB i trougao što ga čine vektori brzina.
Na osnovu sličnosti trouglova slijedi da je:
Ako ovu jednačinu podijelimo sa jako malim vremenskim intervalom Δt, dobićemo izraz za trenutnu akceleraciju koja predstavlja količnik promjene brzine koja se dogodila u jako malom vremenskom intervalu i tog intervala:
S obzirom da je put koji pređe tijelo, u ovom slučaju to je kružni luk, u jako malom vremenskom intervalu takođe jako malen; možemo smatrati da je jednak dužini AB, a količnik AB⁄Δt odgovara brzini tijela, dobivamo sljedeći izraz za centripetalnu akceleraciju:
