Konstrukcija simetrale duži i simetrale ugla

U geometriji se pod konstrukcijom podrazumijeva izrada crteža pomoću linijara i šestara. Linijar služi za crtanje prave ako su zadane dvije njene tačke, a šestar služi za crtanje kružnice ako joj poznajemo središte i radijus.

Neka je data duž AB. Simetrala duži prolazi kroz njeno središte i normalna je na duž. Konstruišimo dvije kružnice jednakih radijusa. Neka je središte jedne kružnice u tački A, a središte druge u tački B. Ove kružnice trebaju imati radijus veći od polovine duži, tako da se one sijeku u dvjema tačkama koje određuju jednu pravu. Ta prava je tražena simetrala duži AB.

Simetralu ugla konstruišemo tako što konstruišemo bilo koji kružni luk sa središtem u vrhu ugla, pri čemu dobivamo presječne tačke tog luka i krakova ugla. Sada iz ovih tačaka konstruišemo dvije kružnice jednakih radijusa, birajući radijus takav da se kružnice sijeku. Jedna od presječnih tačaka kružnica i vrh ugla određuju pravu. Ta prava je simetrala ugla.

Konstrukcija normale

Prilikom konstruisanja normale koja prolazi kroz datu tačku na određenu pravu, razlikujemo dva slučaja:
1. data tačka M pripada datoj pravoj
2. data tačka M ne pripada datoj pravoj
Na gornjoj lijevoj slici tačkom M kao središtem opišemo bilo koju kružnicu, pri čemu ćemo dobiti tačke A i B na presjeku te kružnice i date prave p. Simetrala duži AB prolazi kroz datu tačku M i ona čini traženu normalu na pravu p.
U drugom slučaju koji je prikazan na gornjoj desnoj slici, na pravoj p biramo proizvoljnu tačku A. Tačkom M koja nije na pravoj p opisujemo kružnicu radijusa MA, pri čemu dobivamo još jednu, presječnu tačku na pravoj p, tačku B. Simetrala duži AB prolazi kroz tačku M i ona čini traženu normalu na p.

Značajne tačke trougla

Svaki trougao ima tri vrha koji zajedno sa stranicama i uglovima predstavljaju osnovne elemente trougla. Međutim, postoje i druge, značajne, tačke trougla u koje ubrajamo:
1. središte opisane kružnice
2. središte upisane kružnice
3. težište
4. ortocentar

Teorema: Simetrale stranica trougla sijeku se u jednoj tački.
Definicija: Tačka u kojoj se sijeku simetrale stranica trougla naziva se središte opisane kružnice trougla.

Teorema: Simetrale unutrašnjih uglova trougla sijeku se u jednoj tački.
Definicija: Tačka u kojoj se sijeku simetrale unutrašnjih uglova trougla naziva se središte upisane kružnice trougla. Ranije smo uveli pojam težišnice i težišta trougla, kao i pojam visine trougla i ortocentar.

Definicija: Tačka u kojoj se sijeku težišnice trougla naziva se težište trougla.
Teorema: Sve tri težišnice trougla sijeku se u istoj tački koja svaku od njih dijeli u odnosu 2:1 računajući od vrha trougla. Teorema: Prave koje sadrže visine trougla sijeku se u jednoj tački.
Definicija: Tačka u kojoj se sijeku prave kojima pripadaju visine trougla trougla naziva se ortocentar trougla.